Question

等差数列{a_n}中，a₁=23，公差d为整数，若a₆＞0，a₇＜0．（1）求公差d的值；（2）求通项公式a_n；（3）求前n项和S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式化简已知两不等式的左边，并将a₁的值代入，得到关于d的两个不等式，组成不等式组，求出不等式组的解集，得到d的范围，找出取值范围中的整数，即可得到d的值；
（2）由a₁及求出的d，写出等差数列的通项公式即可；
（3）由a₁及求出的d，写出等差数列的前n项和S_n，整理后得到S_n与n成二次函数关系，配方后得到二次函数的顶点式，再根据n为正整数，即可得到S_n取得最大值时n的值，进而求出此时前n项和S_n的最大值．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₁=23，且a₆=a₁+5d＞0，a₇=a₁+6d＜0，
∴23+5d＞0，且23+6d＜0，
解得：-

23

5

＜d＜-

23

6

，又d为整数，
∴d=-4；
（2）∵a₁=23，d=-4，
∴通项公式a_n=a₁+（n-1）d=23-4（n-1）=27-4n；
（3）∵a₁=23，d=-4，
∴前n项和S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=23n-2n（n-1）=-2n²+25n=-2（n-

25

4

）²+

625

8

，
当n=

25

4

时，S_n有最大值，最大值为

625

8

，
而n为正整数，∴当n=6时，前n项和S_n最大，
则前n项和S_n最大值为S₆=-2×6²+25×6=78．

点评：此题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，二次函数的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．