Question

椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：根据题意，作出示意图，可得△ABF₂为等边三角形，即|OF₂|=

3

2

|AB|，可得c=

3

b，由此结合b²=a²-c²即可解出椭圆的离心率为

3

2

．

解答：解：设椭圆的焦点分别为F₁、F₂，上顶点为B，下顶点为A，如图所示
∵一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，即△ABF₂为等边三角形
∴|OF₂|=

3

2

|AB|，可得c=

3

b
平方得c²=3b²=3（a²-c²），所以3a²=4c²，
可得e²=

c2

a2

=

3

4

，得e=

3

2

故答案为：

3

2

点评：本题给出椭圆的一个焦点与短轴构成正三角形，求椭圆的离心率，着重考查了正三角形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．