Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一条经过点且方向向量为的直线交椭圆于两点，交轴于点，且．

（1）求直线的方程；

（2）求椭圆长轴长的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）直线过点且方向向量为

∴，方程为，

化简为：

∴直线的方程为

（2）设直线和椭圆交于两点，和轴交于，由，知，

将代入中，得……①

由韦达定理知：

由②²/③知：，化为　　……④

∵，

化简，得，即，

∴，注意到，解得

又椭圆的焦点在轴上，则，

由④知：，结合，求得．

因此所求椭圆长轴长范围为．

考点：本题主要考查直线的方向向量，直线方程，直线与椭圆的位置关系，简单不等式解法。

点评：中档题，涉及椭圆与直线位置关系问题，往往利用韦达定理。本题借助于韦达定理，建立方程组后，整理得到，进一步利用求得a的范围。