Question

（本题满分16分）围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）

⑴将y表示为x的函数；

⑵写出f(x)的单调区间，并证明；

⑶根据⑵，试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

Answer 1

解：⑴如图，设矩形的另一边长为a m

         则y=45x+180(x－2)+180×2a=225x+360a－360

         由已知  ax=360a=

       ∴y=225x+－360(x>0)   ……………………………………………6′

       ⑵任取x₁>x₂>0

          y₁－y₂=225(x₁－x₂)+

               =(x₁－x₂)( 225－)      ……………………………………10′

            ∴x₁x₂>()²=24²时，  y₁>y₂

                     x₁x₂<24   时，  y₁y₂  

                  ∴x₁>x₂≥24时

              y₁>y₂       24> x₁>x₂>0时

              y₁<y₂

        即f(x)在（0，24）单调减，在（24，+∞）单调增   …………………14′

       ⑶x=24时，修建围墙的总费用最小，最小费用为10440元…………………16′