Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，试讨论函数零点的个数；

（3）在（2）的条件下，若有两个零点，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在单调递减；(2) 当时，恰有一个零点：当时，没有零点；当时，有两个零点；(3)见解析

【解析】

（1）求导后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到函数的单调性；（2）利用导数判断出函数的单调性，求得函数最大值为，分别在，，三种情况下，结合零点存在定理判断出零点个数；（3）根据零点的定义可求得，令，，可将整理为；令，，可求得，结合即可证得结论.

（1）由题意得：

当时，在上恒成立

则在上单调递减

当时，若，，；若，

即在上单调递增；在上单调递减

综上所述：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在单调递减

（2）当时，，则

令，解得：

当时，，则在上单调递减

当时，，则在上单调递增

①当，即时，当且仅当时，，恰有一个零点；

②当，即时，恒成立，没有零点：

③当，即时，，，

， 有两个零点

综上：当时，恰有一个零点：当时，没有零点；当时，有两个零点

（3）证明：

由题意知：，即

记，，则，故

，

记函数，

则 在上单调递增

当时，

由（2）知，

又