Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，其前4项和S₄=

40

81

，且a₃²=9a₂a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列{

1

bn

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式及其前n项和的公式即可得出；
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，a_n＞0．
∵S₄=

40

81

，且a₃²=9a₂a₆．∴a1(1+q+q2+q3)=

40

81

，

a

2 1

q4=9

a

2 1

q6，
解得q=

1

3

，a₁=

1

3

．
∴an=(

1

3

)n．
（2）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-1-2-…-n=-

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴数列{

1

bn

}的前n项和=-2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=-2(1-

1

n+1

)
=

-2n

n+1

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和的公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．