Question

（本小题满分15分）
（Ⅰ）如图1，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：.
（Ⅱ）如图2,设为的重心,过点且与、（或其延长线）分别交于点，若，，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）为定值.

点在直线上，则点A,B,C共线，考查向量共线定理，，将所有向量用P起始点，得出：
；
为的重心，
分别得出向量 ，及向量的关系。
解：（Ⅰ）由于三点共线，所以存在实数使得：
，                        ………3分
即               ………5分
化简为
结论得证.                           ………7分
（Ⅱ）连结，因为为的重心，
所以：………10分
又因为，
所以………12分
由（Ⅰ）知： 所以为定值.…15分