Question

（2012•安徽）数列{x_n}满足x₁=0，x_n+1=-x²_n+x_n+c（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：{x_n}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范围，使{x_n}是递增数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过证明必要条件与充分条件，推出{x_n}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通过①当c=0时，②当c＞0时，推出0＜c＜1，当c≤

1

4

时，证明x_n+1＞x_n．

lim

n→∞

xn+1=

lim

n→∞

(-

x

2 n

+xn+c)?

lim

n→∞

xn=

c

．当c＞

1

4

时，说明数列{x_n}是从递减数列矛盾．得到0＜c≤

1

4

时，数列{x_n}是递增数列．

解答：当c＜0时，x_n+1=-x²_n+x_n+c＜x_n，
∴{x_n}是单调递减数列
充分条件
当{x_n}是单调递减数列时
x₁=0＞x₂=-x²₁+x₁+c
∴c＜0
综上{x_n}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0
①当c=0时，x_n=x₁=0，此时数列为常数列，不符合题意；
②当c＞0时，x₂=c＞x₁=0，x₃=-c²+2c＞x₂=c
∴0＜c＜1
xn+1-xn=c-

x

2 n

＞0?

x

2 n

＜c＜1
?0=x₁≤x_n＜

c

，xn+2-xn+1=-(xn+1 2-

x

2 n

)+(xn+1-xn)=-（x_n+1-x_n）（x_n+1+x_n-1），
当0＜c≤

1

4

时，xn＜

c

≤

1

2

⇒x_n-x_n+1+1＞0?x_n+2-x_n+1-1＜0，?x_n+2-x_n+1与x_n+1-x_n同号，
由x₂-x₁=c＞0⇒x_n+1-x_n＞0?x_n+1＞x_n．

lim

n→∞

xn+1=

lim

n→∞

(-

x

2 n

+xn+c)?

lim

n→∞

xn=

c

．
当c＞

1

4

时，存在N使x_N＞

1

2

⇒x_N+x_N+1＞1⇒x_N+2-x_N+1与x_N+1-x_N异号，
与数列{x_n}是从递减数列矛盾．
所以当0＜c≤

1

4

时，数列{x_n}是递增数列．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，函数的单调性的证明，充要条件的证明，考查逻辑推理能力，计算能力．