Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且过点.

求椭圆的方程；

已知是椭圆的内接三角形，

①若点为椭圆的上顶点，原点为的垂心，求线段的长；

②若原点为的重心，求原点到直线距离的最小值.

Answer 1

【答案】；①；②.

【解析】

根据题意列出方程组求解即可；

①由原点为的垂心可得，轴，设，则，，根据求出线段的长；

②设中点为，直线与椭圆交于，两点，为的重心，则，设：，，，则，当斜率不存在时，则到直线的距离为1，，由，则，，，得出，根据求解即可.

解：设焦距为，由题意知：，

因此，椭圆的方程为：；

①由题意知：，故轴，设，则，，

，解得：或，

，不重合，故，，故；

②设中点为，直线与椭圆交于，两点，

为的重心，则，

当斜率不存在时，则到直线的距离为1；

设：，，，则

，

，则

，

则：，，代入式子得：

，

设到直线的距离为，则

时，；

综上，原点到直线距离的最小值为.