Question

【题目】如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，且．

（1）求证：平面PAD；

（2）求证：面PCD；

（3）若，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）.

【解析】

（1）取CD中点，连结M、N，然后可证明平面平面PAD，进而可得平面PAD；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量可得证得，进而得到结论成立；（3）结合题意求出平面MPC和平面MCD的法向量，先求出两向量的夹角的余弦值，然后可得所求二面角的正弦值．

证明：（1）取CD中点，连结M、N，

∵N为PC的中点，

∴，

又 平面，平面，

∴平面．

同理平面．

又，

∴平面平面PAD．

∵平面MNO，

∴平面PAD．

（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示．

设，，

则0，，0，，b，，，b，，

∴，b，，b，，

∴，，

∴，．

又，

∴平面PCD．

（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

设，则，

则0，，0，，1，，1,，

∴0，，1，，

设平面MPC的法向量y，，

则，取，得.

由题意得平面MCD的法向量0，．

设二面角的平面角为，

则，

∴，

∴二面角的正弦值为．