Question

【题目】椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴平行时，直线被椭圆截得的线段长为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定点满足题意.

【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为列方程组求出，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线方程为，由得， ，根据韦达定理及斜率公式可得，令，可得符合题意.

试题解析：（1）∵，∴，

椭圆方程化为： ，由题意知，椭圆过点，

∴，解得，

所以椭圆的方程为： ；

（2）当直线斜率存在时，设直线方程： ，

由得， ，

设，

假设存在定点符合题意，∵，∴，

∴

，

∵上式对任意实数恒等于零，∴，即，∴，

当直线斜率不存在时， 两点分别为椭圆的上下顶点，

显然此时，综上，存在定点满足题意．