Question

9．已知椭圆的中心在原点，焦点为${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$，且离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）求以点P（2，-1）为中点的弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的焦点和离心率列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）设以点P（2，-1）为中点的弦与椭圆交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，由此利用点差法能求出以点P（2，-1）为中点的弦所在的直线方程．

解答 解：（1）∵椭圆的中心在原点，焦点为${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$，且离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2\sqrt{3}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，b=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）设以点P（2，-1）为中点的弦与椭圆交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=16}\\{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=16}\end{array}\right.$，两式相减，并整理，得4（x₁-x₂）-8（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴以点P（2，-1）为中点的弦所在的直线方程为：
y+1=$\frac{1}{2}$（x-2），即x-2y-4=0．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查中点弦所成直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质及点差法的合理运用．