Question

设球的半径为时间t的函数r（t），若球的体积以均匀速度

1

2

增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为

 

．

Answer 1

分析：设球的体积以均匀速度c增长，求出球的体积的表达式，然后求出球的导数，即可求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．

解答：解：设球的体积以均匀速度c增长，
由题意可知球的体积为V（t）=

4

3

πR3(t)，则c=V'（t）=4πR²（t）R'（t），
则

c

R(t)R′(t)

=4πR(t)，
而球的表面积为S（t）=4πR²（t），
∴V_表=S′（t）=4πR²（t）=8πR（t）R′（t），
即 V_表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=

2c

R(t)R′(t)

•R′(t)=

2c

R(t)

，
即球的表面积的增长速度与球半径的乘积为V_表•R（t）=2c，
∵c=

1

2

，
∴V_表•R（t）=2c=

1

2

×2=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查球的体积公式和表面积公式之间的对应关系，利用导数是解决本题的关键，综合性强，难度较大．