Question

设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的表面积以均匀速度c增长，则球的体积的增长速度与球半径（　　）

• A、成正比，比例系数为

  c

  2

• B、成反比，比例系数为

  c

  2

• C、成反比，比例系数为c
• D、成正比，比例系数为c

Answer 1

分析：求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出8πR（t）R′（t）=c，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．

解答：解：由题意可知球的表面积为S（t）=4πR²（t），
∴V_表=S′（t）=4πR²（t）=8πR（t）R′（t）=c，
∴R（t）R′（t）=

c

8π

球的体积为 V(t)=

4

3

πR3(t)，
则V′（t）=4πR²（t）R′（t）=4πR（t）•

c

8π

=

c

2

•R（t），
即球的体积的增长速度与球半径成正比，且比例系数为

c

2

故选A

点评：本题考球的体积与表面积，导数的几何意义，其中根据已知中球的表面积以均匀速度c增长，c与R（t）及R′（t）之间的关系，是解答本题的关键．