Question

点A、B在椭圆=1上，O为原点，OA⊥OB.

(1)求证：为定值；

(2)求△AOB面积的最大值和最小值.

Answer 1

思路解析：此题看起来与极坐标方程没有什么关系,但是当把椭圆方程化为极坐标方程后,就可以发现OA与OB长度的关系了；在△AOB中利用正弦定理的面积公式也容易找到其面积的最大值和最小值.

(1)证明：椭圆半长轴长为a,半短轴长为b,以O为极点,长轴一端与点O的射线为极轴,建立坐标系,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入椭圆方程,得b²ρ²cos²θ+a²ρ²sin²θ=a²b².

∴ρ²=

即ρ²=.设OA的极角为α,则OB的极角为+α.

∴.

∴为定值.

(2)解：设A的极坐标为(ρ₁,θ),则B(ρ₂,θ+).点A、B满足方程ρ₁²=,ρ₂²=.∵OA⊥OB,∴S_△OAB=ρ₁ρ₂.

而ρ₁²ρ₂²=,

这里ρ₁ρ₂与ρ₁²ρ₂²同时取得最大值和最小值.

故当sin2θ=0时,ρ₁²ρ₂²有最大值,ρ₁ρ₂有最大值,

(S_△OAB)_max=·=；

当sin2θ=±1时,ρ₁²ρ₂²有最小值,ρ₁ρ₂有最小值,

(S_△OAB)_min=·=.