题目内容
已知三点A（-1，0），B（1，0），C(-1，
)，曲线E过C点，且动点P在曲线E上运动，并保持|PA|+|PB|的值不变．
（I）求曲线E的方程；
（II）若C、M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线E上的不同三点，直线CM、CN的倾斜角互补．问直线MN的斜率是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．
| 3 |
| 2 |
（I）求曲线E的方程；
（II）若C、M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线E上的不同三点，直线CM、CN的倾斜角互补．问直线MN的斜率是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．
（I）由题意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4＞2=|AB|=2c，（3分）
∴由定义得P点轨迹是椭圆，
且b2=a2-c2=3．
因此，曲线E的方程为
+
=1.（5分）
（II）由条件知直线CM，CN的斜率存在且不为0，
设直线CM的方程为y=k(x+1)+
，
由
消去y，
整理得（4k2+3）x2+4k（2k+3）x+4k2+12k-3=0
∵C在椭圆上，
∴方程两根为-1，x1∴-x1=
，x1=-
.（9分）
∵直线PM，PN的倾斜角互补，
∴直线PM，PN的斜率互为相反数，
∴x2=-
.（11分）
则x1-x2=
，x1+x2=
.
又y1=k(x1+1)+
，y2=-k(x2+1)+
，
∴y1-y2=k(x1+x2+2)=k(
+2)=
.
∴直线MN的斜率KMN=
=-
（定值）（13分）
∴由定义得P点轨迹是椭圆，
且b2=a2-c2=3．
因此，曲线E的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）由条件知直线CM，CN的斜率存在且不为0，
设直线CM的方程为y=k(x+1)+
| 3 |
| 2 |
由
|
整理得（4k2+3）x2+4k（2k+3）x+4k2+12k-3=0
∵C在椭圆上，
∴方程两根为-1，x1∴-x1=
| 4k2+12k-3 |
| 4k2+3 |
| 4k2+12k-3 |
| 4k2+3 |
∵直线PM，PN的倾斜角互补，
∴直线PM，PN的斜率互为相反数，
∴x2=-
| 4k2-12k-3 |
| 4k2+3 |
则x1-x2=
| -24k |
| 4k2+3 |
| 6-8k2 |
| 4k2+3 |
又y1=k(x1+1)+
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴y1-y2=k(x1+x2+2)=k(
| 6-8k2 |
| 4k2+3 |
| 12k |
| 4k2+3 |
∴直线MN的斜率KMN=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
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