题目内容
在直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，| 3 |
| 2 |
（1）求椭圆方程；
（2）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l，与椭圆交于不同的两点M、N，使（
| PM |
| PN |
| MN |
若存在．求出直线l斜率的取值范围；
（3）对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使（
| PM |
| PN |
| MN |
分析：（1）设椭圆方程为
+
=1，由焦点A（-1，0），B（1，0）及椭圆过C（-1，
)可得到椭圆方程．
（2）由(
+
)•
=0，知|
|=|
|，设直线方程y=kx+m，（k≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点Q（x0，y0）．由题知
可得（3+4k2）x2+8kmx+4k2-12=0，x0=
=-
，y0=
，由△＞0可得4k2+3＞m2，由|
|=|
可得4k2＜-2矛盾．所以符合条件的直线不存在．
（3）由
=-
，可推出4k2＜
-3，要使k存在解得n的取值范围是(-
，0)∪(0，
)．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
（2）由(
| DM |
| DN |
| MN |
| DM |
| DN |
|
| x1+x2 |
| 2 |
| 4km |
| 3+4k2 |
| 3m |
| 3+4k2 |
| DM |
| DN| |
（3）由
| y0-n |
| x0 |
| 1 |
| k |
| 1 |
| n2 |
| 3 |
| 3 |
解答：解：（1）设椭圆方程为
+
=1，由焦点A（-1，0），B（1，0）及椭圆过C（-1，
)可得，
，
解得
，即椭圆方程是
+
=1．
（2）∵(
+
)•
=0，
∴|
|=|
|，
由题知直线的斜率存在．可设直线方程为
y=kx+m，（k≠0），
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点Q（x0，y0）．
由题知
，
得（3+4k2）x2+8kmx+4k2-12=0，
得x0=
=-
，y0=
，
由△＞0，得4k2+3＞m2，
由|
|=|
，得
=-
，
即m=-3-4k2，又由4k2+3＞m2，可得4k2＜-2矛盾．
所以符合条件的直线不存在．
（3）由（2）知
=-
，
推出4k2＜
-3，
要使k存在只需
-3＞0，
解得n的取值范围是(-
，0)∪(0，
)．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
|
解得
|
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）∵(
| DM |
| DN |
| MN |
∴|
| DM |
| DN |
由题知直线的斜率存在．可设直线方程为
y=kx+m，（k≠0），
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点Q（x0，y0）．
由题知
|
得（3+4k2）x2+8kmx+4k2-12=0，
得x0=
| x1+x2 |
| 2 |
| 4km |
| 3+4k2 |
| 3m |
| 3+4k2 |
由△＞0，得4k2+3＞m2，
由|
| DM |
| DN| |
| y0-1 |
| x0 |
| 1 |
| k |
即m=-3-4k2，又由4k2+3＞m2，可得4k2＜-2矛盾．
所以符合条件的直线不存在．
（3）由（2）知
| y0-n |
| x0 |
| 1 |
| k |
推出4k2＜
| 1 |
| n2 |
要使k存在只需
| 1 |
| n2 |
解得n的取值范围是(-
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆方程的求法和判断直线方程是否存在，求实数n的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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