Question

f（x）=sin²ωx+（ω＞0），且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求ω的值及f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1，b=，f（A）=1，求角C．

Answer 1

【答案】分析：（1）将f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项第二个因式利用诱导公式变形，再利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，得到f（x）的周期为π，利用周期公式求出ω的值，确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到f（x）的递增区间；
（2）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（A）=1，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由b大于a，得到B大于A，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．
解答：解：（1）∵f（x）=sin²ωx+cosωx•cos（-ωx）
=（1-cos2ωx）+sin2ωx=sin（2ωx-）+，
∵y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
∴y=f（x）的周期为π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-）+，
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ-≤x≤kπ+，x∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（2）∵f（A）=1，∴sin（2A-）+=1，即sin（2A-）=，
∴2A-=或2A-=，即A=，
∵a=1，b=，
∴由正弦定理=得：sinB==，
∴B=或，
则C=或．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．