Question

已知函数f（x）=sin2（

π

4

+x）-

3

2

cos2x
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）函数f（x）的图象经过怎样的变换可以得到y=sin2x的图象？

Answer 1

分析：（1）函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数的最小正周期；由正弦函数的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到函数的递增区间；
（2）利用平移规律，得到函数f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，向下平移

1

2

个单位得到y=sin2x的图象．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

[1-cos（

π

2

+2x）]-

3

2

cos2x=

1

2

+

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=

1

2

+sin（2x-

π

3

），
∵ω=2，∴T=π；
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（2）函数f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，向下平移

1

2

个单位得到y=sin2x的图象．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及三角函数的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．