题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ 是奇函数，且f（2）=- $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（ $数学公式$ ）=f（x）；
（3）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．

解：（1）∵函数f（x）= $\text{[math]}$ 是奇函数，∴ $\text{[math]}$
∴q=0，∴ $\text{[math]}$
∵f（2）=- $\text{[math]}$ ，∴p=2
∴ $\text{[math]}$
（2）证明：∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴f（ $\text{[math]}$ ）=f（x）；
（3）增函数
设x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，1）
$\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，1）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函数f（x）在（0，1）上单调增
分析：（1）利用函数f（x）= $\text{[math]}$ 是奇函数，可得q=0，即 $\text{[math]}$ ，根据f（2）=- $\text{[math]}$ ，可得p=2，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）根据 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，从而有f（ $\text{[math]}$ ）=f（x）；
（3）增函数．设x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，1），再作差，变形，从而定号下结论．
点评：本题以函数的性质为载体，考查函数的解析式，考查函数单调性的判断与证明，注意掌握步骤：取值、作差、定号，下结论．

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