Question

7．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为$2\sqrt{2}$，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，$FO=\sqrt{3}，且FO⊥$平面ABCD．
（I）求证：AE∥平面BCF；
（Ⅱ）若$FO=\sqrt{3}$，求证CF⊥平面AEF．

Answer 1

分析 （I）利用正方形，平行四边形的性质可得AD∥BC，DE∥BF，可证平面ADE∥平面BCF，即可证明AE∥平面BCF…5分
（Ⅱ）由已知可证AC²=AF²+CF²，由勾股定理可得CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，可得FO⊥BD，又AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AFC，结合EF∥BD，即可证明EF⊥CF，从而可证CF⊥平面AEF．

解答 证明：（I）∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF是平行四边形，
∴AD∥BC，DE∥BF，
∵AD∩DE=D，BC∩BF=B，
∴平面ADE∥平面BCF，
又∵AE?平面ADE，
∴AE∥平面BCF…5分
（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2$\sqrt{2}$，
∴对角线AC=4，
又∵O为GC中点，
∴AO=3，OC=1
又∵FO⊥平面ABCD，且FO=$\sqrt{3}$，
∴AF²=AO²+OF²=9+3=12，CF²=OC²+OF²=1+3=4，
又AC²=16，
∴AC²=AF²+CF²，
∴CF⊥AF，
又FO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴FO⊥BD
又∵AC⊥BD
∴BD⊥平面AFC，
又∵EF∥BD，
∴EF⊥平面AFC
∴EF⊥CF，
又EF∩AF=F
∴CF⊥平面AEF…12分

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．