Question

【题目】已知数列的前项和为，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证: .

Answer 1

【答案】（1） ； （2）见解析.

【解析】

（I）．可得a1=S1=1﹣1=0，a1+a2=22+1，a1+a2+a3=32﹣1，联立解

得a1，a2，a3．（II）n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1+2（﹣1）n．当n为偶数时，an=2n+1；

当n为奇数时，an=2n﹣3（n＞1）．利用等差数列的求和公式即可得出．

（I）解：∵．∴a1=S1=1﹣1=0，a1+a2=22+1，a1+a2+a3=32﹣1，

联立解得：a1=0，a2=5，a3=3．

（II）证明：n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+（﹣1）n﹣[（n﹣1）2+（﹣1）n﹣1]

=2n﹣1+2（﹣1）n．

当n为偶数时，an=2n+1；当n为奇数时，an=2n﹣3（n＞1）．

∴a1+a3+a5+…+a2n+1=0+3+7+……+2（2n+1）﹣3==2n2+n．

a2+a4+a6+…+a2n=5+9+……+（2n+1）==2n2+3n．

∵2n2+3n﹣（2n2+n）=2n＞0．

∴a1+a3+a5+…+a2n+1＜a2+a4+a6+…+a2n．