题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）当 $数学公式$ ，函数y=[f（x）]²-a•f（x）+1的最小值为 $数学公式$ ，求实数a的值．

（1）证明：∵ $\text{[math]}$ ，∴x∈（-1，1）
函数的定义域为（-1，1）关于原点对称，…（2分）
又∵f（-x）+f（x）= $\text{[math]}$ =log₃1=0
∴f（-x（=-f（x）
故函数f（x）为奇函数（6分）
（2）解：令f（x）=t，∵ $\text{[math]}$ ，∴t∈[0，1]…（9分）
函数 $\text{[math]}$
设函数y=[f（x）]²-a•f（x）+1的最小值为g（a）
若a≤0，则当t=0时，函数取到最小值g（a）=1；
由 $\text{[math]}$ =1，得a=-2
若0＜a＜2，当 $\text{[math]}$ 时，函数取到最小值 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ （舍）
若a≥2，当t=1时，函数取到最小值g（a）=2-a
由 $\text{[math]}$ ，解得a=4
∴a=-2或a=4…．（16分）
分析：（1）由题意可得函数的定义域为（-1，1）关于原点对称，然后检验f（-x）与f（x）的关系，即可判断
（2）令f（x）=t，由 $\text{[math]}$ ，可得t∈[0，1]，则函数 $\text{[math]}$ ，，则通过讨论对称轴 $\text{[math]}$ 与区间[0，1]的关系可求
最小值为g（a），结合已知可求a
点评：本题主要考查对数函数的定义域与奇偶性，对a分类讨论是难点，由f（-x）+f（x）=0判断该题的奇偶性是好方法，属于中档题．