Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当实数k在什么范围内变化时，函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求导函数，然后解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，从而求出函数f（x）的单调区间；
（2）先利用导数研究函数的极值，然后要使函数y=f（x）与y=3只有一个公共点，须f（x）_极大＜3，或f（x）_极小＞3，解之即可求出k的取值范围．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+2k．
由．（2分）
当x＜-或x＞时，f'（x）＞0
当-＜x＜时，f'（x）＜0
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-），（，+∞）
递减区间为．（6分）
（2）由（1）知，当时，f（x）取得极大值，
当时，f（x）取得极小值（8分）
依题意，要使函数y=f（x）与y=3只有一个公共点，须f（x）_极大＜3，或f（x）_极小＞3．（10分）
由，解得
而无解．
所以，所求实数k的取值范围是．（13分）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及研究函数的极值和函数图象的交点问题，属于中档题．