Question

已知函数f(x)=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数．
（1）求a的值；  
（2）当x∈（0，1]时，t•f（x）≥2^x-2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的性质，令f（0）=0列出方程，求出a的值；
（2）由0＜x≤1判断出f（x）＞0，再把t分离出来转化为t≥

(2x-2)(2x+1)

2x-1

对x∈（0，1]时恒成立，利用换元法：令m=2^x-1，代入上式并求出m的范围，再转化为求y=m-

1

m

+1在（0，1]上的最大值．

解答：解：（1）∵函数f(x)=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
∴f(0)=1-

4

2+a

=0，解得a=2．
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

，当0＜x≤1时，f（x）＞0．
∴当0＜x≤1时，t•f（x）≥2^x-2恒成立，
则等价于t≥

2x-2

f(x)

=

(2x-2)(2x+1)

2x-1

对x∈（0，1]时恒成立，
令m=2^x-1，0＜m≤1，即t≥m-

1

m

+1当0＜m≤1时恒成立，
既t≥y=m-

1

m

+1在（0，1]上的最大值，易知y=m-

1

m

+1在（0，1]上单调递增，
∴当m=1时y=m-

1

m

+1有最大值1，所以t≥1，
故所求的t范围是：t≥1．

点评：本题考查了奇函数的性质应用，恒成立问题以及转化思想和分离常数法求参数范围，难度较大．