Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当＜ 时，求实数取值范围．

Answer 1

（1） ；( Ⅱ).

试题分析：（1）由题意知，所以．由此能求出椭圆C的方程．（2）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0再由根的判别式和嘏达定理进行求解．
解：（1）由题意知， 所以．
即．    2分
又因为，所以，．
故椭圆的方程为．  4分
（2）由题意知直线的斜率存在.
设：，，，，
由得.
，.   6分
，.
∵，∴，，
.
∵点在椭圆上，∴，
∴. 8分
∵＜，∴，∴
∴，
∴，∴. 10分
∴，∵，∴，
∴或，∴实数t取值范围为．（12分）