Question

21、对定义域是、的函数、，规定：函数。

（1）若函数，，写出函数的解析式；

（2）求问题（1）中函数的值域；

（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明。

Answer 1

(2)当x≠1时,h(x)= =x－1＋＋2,

若x>1,则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立.

若x<1,则h(x)≤0,其中等号当x=0时成立.

∴函数h(x)的值域是(－∞，0∪{1}∪4,+ ∞).

(3)[解法一]令f(x)=sin2x+cos2x,   α=,

则8（x）=f(x+α)=sin2(x+)+cos2(x+)

=cos2x－sin2x,

于是h(x)=f(x)·f(x+α)

=(sin2x+cos2x)(cos2x－sin2x)

=cos4x.

[解法二]令f(x)=1+sin2x, α=.

则g(x)=f(x+α)=1+sin2(x+)

=1－sin2x,

于是h(x)=f(x)·f(x＋α)

=(1+sin2x)(1－sin2x)

=1－2sin²2x

=cos4x