Question

对定义域为D的函数，若存在距离为d的两条平行直线l₁：y=kx+m₁和l₂：y=kx+m₂，使得当x∈D时，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，则称函数f（x）在（x∈D）有一个宽度为d的通道．有下列函数：
①f（x）=

1

x

；
②f（x）=sinx；
③f（x）=

x2-1

；
④f（x）=x³+1．
其中在[1，+∞）上通道宽度为1的函数是（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、②④
• D、①④

Answer 1

分析：①只需考虑反比例函数在[1，+∞）上的值域即可，
②要分别考虑函数的值域和图象性质，
③则需从函数图象入手，寻找符合条件的直线，
④考虑幂函数的图象和性质，才可做出正确判断．

解答：解：①当x∈[1，+∞）时，0＜

1

x

≤1，此时存在直线y=0，y=1，满足两直线的距离d=1，使0≤f（x）≤1恒成立，
故在[1，+∞）有一个宽度为1的通道，∴①满足条件．
②当x∈[1，+∞）时，-1≤sinx≤1，则函数值的最大值和最小值之间的距离d=2，
故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；
③当x∈[1，+∞）时，f（x）=

x2-1

表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x-

2

，
满足两直线的距离d=1，使x≤f（x）≤x-

2

恒成立，∴③满足在[1，+∞）有一个宽度为1的通道；
④当x∈[1，+∞）时，f（x）=x³+1≥2，且函数单调递增，故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；
故选：A．

点评：本题主要考查了对新定义性质的理解和运用，熟知已知四个函数的图象和性质，是解决本题的关键．考查学生的推理和判断能力．