Question

若函数f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，1]内，g（x）=f（x）-mx-m恰有一个零点，则实数m的取值范围是

1. A.
   （0，]
2. B.
   [，+∞）
3. C.
   [0，+∞）
4. D.
   （0，）

Answer 1

A
分析：由题意可得函数f（x）是周期等于2的周期函数，f（x）=，表示2条线段．由条件得，在区间[-1，1]内，函数f（x）的图象与函数y=mx+m的图象只有一个交点，数形结合可得直线的斜率m满足 0＜m≤，由此求得实数m的取值范围．
解答：解：∵函数f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是周期等于2的周期函数．
当x∈（0，1]时，f（x）=x，故x∈（-1，0]时，（x+1）∈，（0，1]，f（x+1）=-f（x）=x+1，
∴f（x）=-x-1，即 f（x）=，表示2条线段．
若在区间[-1，1]内，函数g（x）=f（x）-mx-m 恰有一个零点，故函数f（x）的图象与函数y=mx+m的图象只有一个交点，如图所示：
故有 0＜m≤，即实数m的取值范围是（0，]，
故选A．
点评：此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力，属于中档题．