Question

对于定义在R上的函数f（x），有下述四个命题；
①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若对x∈R，有f（x+1）=f（x-1），则y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
③若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；
④函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确命题为

①③

．

Answer 1

分析：利用函数的性质对①②③④四个选项逐个判断即可．

解答：解：①，∵f（x）是奇函数，
∴f（x）的图象关于原点成中心对称，而y=f（x-1）的图象是将y=f（x）得图象向右平移一个单位，
f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称，故①正确；
②，对x∈R，有f（x+1）=f（x-1）≠f（1-x），则y=f（x）的图象不关于直线x=1对称，即②错误；
③，若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
则函数f（x）的图象关于直线x=0即y轴对称，
∴f（x）为偶函数，③正确；
对于④，不妨令f（x）=x，则f（1+x）=1+x，f（1-x）=1-x，二者图象关于x=0对称，故④错误．
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的性质地综合应用，考查分析与解决问题的能力，属于中档题．