Question

【题目】已知函数 （a＞0）． （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若 恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：总存在x0 ， 使得当x∈（x0 ， +∞），恒有f（x）＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）= ，x＞0，

∴f′（x）= ，

∴k=f′（1）=1，f（1）=0，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=x﹣1，

（Ⅱ）∵f（x）＜ 恒成立，

即 ＜ ，

∴a＞ ，x＞0，

设g（x）= ，

∴g′（x）= ，

当g′（x）＞0时，解得0＜x＜e2，函数g（x）单调递增，

当g′（x）＜0时，解得x＞e2，函数g（x）单调递减，

∴g（x）max=g（e2）= ，

∴a＞ ，

故a的取值范围为（ ，+∞），

（Ⅲ）证明：∵f（x）= ，

∴f′（x）= ，

令f′（x）=0，解得x=e，

当f′（x）＞0时，解得0＜x＜e，函数g（x）单调递增，

当f′（x）＜0时，解得x＞e，函数g（x）单调递减，

∴f（x）max=f（e）= ，

令 ≤1，即a≥ 时，

∴当a≥ 时，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞），恒有f（x）＜1

【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程，（Ⅱ）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，（Ⅲ）先求导，讨论函数f（x）的单调性，根据函数的单调性和最值得关系，即可证明