Question

已知向量

a

=(sinx， 1)，

b

=(1 ，cosx)，函数f(x)=

2

2

a

•

b

，
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)，且f(α+β+

π

4

)=

3

5

，f(β-

π

4

)=

5

13

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求解函数f（x）的值域；
（2）利用f(α+β+

π

4

)=

3

5

，求出α+β的余弦函数值，通过α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)，求出正弦函数值，利用f(β-

π

4

)=

5

13

，求出sinβ，通过sinα=sin[（α+β）-β]求解即可．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）f(x)=

2

2

a

•

b

=

2

2

×(sinx+cosx)=sin(x+

π

4

)…（3分）
f（x）的值域为：[-1，1]； …（4分）
（2）由f(α+β+

π

4

)=

3

5

得：sin(α+β+

π

2

)=cos(α+β)=

3

5

，
又α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)，则 α+β∈（0，π），sin(α+β)=

1-( 3 5 )2

=

4

5

…（8分）
由f(β-

π

4

)=

5

13

得：sinβ=

5

13

，
又 β∈(0，

π

2

)，cosβ=

1-( 5 13 )2

=

12

13

…（10分）
sinα=sin[（α+β）-β]=sin(α+β)•cosβ-cos(α+β)•sinβ=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的值的求法，角的转化技巧，考查计算能力．