Question

（几何证明选讲选做题）PA与圆O切于A点，PCB为圆O的割线，且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=2

3

，PC=1，则圆O的半径等于

7

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点（2

2

，  

π

4

）作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是

ρcosθ=2

．

Answer 1

分析：（1）连AO并延长，根据切线的性质定理得到Rt△PAD，根据切割线定理得到PA²=PC•PB，根据相交弦定理得到CD•DB=AD•DE，最后即可解得圆O的半径．
（2）求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可．

解答：解：（1）如图，连AO并延长，交圆O与另一点E，交割线PCB于点D，
则Rt△PAD中，由∠DPA=30°，PA=2

3

，得AD=2，PD=4，而PC=1，
故CD=3，由切割线定理，得PA²=PC•PB，即（2

3

）²=1•PB，则PB=11，
故DB=8．
设圆O的半径为R，
由相交弦定理，CD•DB=AD•DE，即3×8=2（2R-2），
得R=7；
（2）（2

2

，

π

4

）的直角坐标为：（2，2），圆ρ=4sinθ的直角坐标方程为：x²+y²-4y=0；显然，圆心坐标（0，2），半径为：2；
所以过（2，2）与圆相切的直线方程为：x=2，所以切线的极坐标方程是：ρcosθ=2
故答案为：7；ρcosθ=2．

点评：本题主要考查圆的切割线定理和相交弦定理、考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查计算能力．属于基础题．