题目内容
（几何证明选讲选做题）自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA中点，过M引割线交圆于B，C两点．
求证：∠MCP=∠MPB．
分析：根据切割线定理，得到AM是MB和MC的比例中项，结合AM=MP得PM：BM=CM：PM，再结合公共角∠BMP=∠PMC，得三角形BMP与三角形PMC相似，从而得到对应角相等，命题得证．
解答：证明：∵AM切圆于点A
∴AM2=MB•MC
又∵M为PA中点，AM=MP
∴MP2=MB•MC⇒
=
∵∠BMP=∠PMC
∴△BMP∽△PMC（边角边）
∴∠MCP=∠MPB．
∴AM2=MB•MC
又∵M为PA中点，AM=MP
∴MP2=MB•MC⇒
| PM |
| BM |
| CM |
| PM |
∵∠BMP=∠PMC
∴△BMP∽△PMC（边角边）
∴∠MCP=∠MPB．
点评：本题考查了圆当中的比例线段，以及三角形相似的有关知识点，属于中档题．找到题中的相似三角形来证明角的相等，是解决本题的关键．
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