Question

已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为

(1，3)，

(1)若方程有两个相等的根，求的解析式；

(2)若的最小值为负数，求a的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)∵的解集为(1，3)，∴设，则．因而．　　　　① 由方程得．　　　　　　　　　　② ∵方程②有两个相等的根，∴，即 ．解得或． 由于，舍去，将代入①，得的解析式为． (2)由及，可得的最小值为． 由题意可得解得． 故当的最小值为负数时，实数a的取值范围是．

提示：

本题综合考查一元二次方程、简单的一元二次不等式和二次函数的关系及其性质，重点是相互之间的转化．在(1)中，通过不等式的解集为(1，3)用二次函数的两根式把不等式转化成函数，再根据韦达定理将问题转化成关于a的方程．在(2)中，既可以根据二次函数的最值公式将题意转化成不等式，也可以用配方法求最值．