题目内容

数列{an}满足：a1=5，an+1-an=
2(an+1+an)+15
，数列{bn}的前n项和Sn满足：Sn=2（1-bn）．
（1）证明：数列{an+1-an}是一个等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的通项公式，并求出数列{anbn}的最大项．
解 （1）令n=1得a2-5=
2(a2+5)+15
，解得a2=12，
由已知得（an+1-an）2=2（an+1+an）+15        ①
（an+2-an+1）2=2（an+2+an+1）+15     ②
将②-①得（an+2-an）（an+2-2an+1+an）=2（an+2-an），
由于数列{an}单调递增，所以an+2-an≠0，于是
an+2-2an+1+an=2，即（an+2-an+1）-（an+1-an）=2，
所以{an+1-an}是首项为7，公差为2的等差数列，于是
an+1-an=7+2（n-1）=2n+5，所以
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（2n+3）+（2n+1）+…+7+5=n（n+4）．
（2）在 Sn=2（1-bn）中令n=1得b1=2（1-b1），解得b1=
2
3
，
∵Sn=2（1-bn），Sn+1=2（1-bn+1），相减得bn+1=-2bn+1+2bn，即3bn+1=2bn，
∴{bn}是首项和公比均为
2
3
的等比数列，
∴bn=（
2
3
）n．
从而anbn=n（n+4）（
2
3
）n．
设数列{anbn}的最大项为akbk，则有
k（k+4）（
2
3
）k≥（k+1）（k+5）（
2
3
）k+1，且k（k+4）（
2
3
）k≥（k-1）（k+3）（
2
3
）k-1，
所以k2≥10，且k2-2k-9≤0，因为k是自然数，解得k=4．
所以数列{anbn}的最大项为a4b4=
512
81
．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
数列{an}满足a1=a，an+1=
an+3
2
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
（Ⅱ）当a=
1
2
时，证明：an＜
3
2
；
（Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围．
（2011•天津模拟）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（1）求证：a≠1时数列{an-1}是等比数列，并求an；
（2）设a=
1
2
c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
(n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
5
3
．
（2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）当a=200时，填写下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
5
3
时，T n＜
5-3a
3
．
已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
x
bx+1
（x＞0），数列{an}满足a1=a，
1
an+1
=f(
1
an
)（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由．

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