Question

20、已知函数f（x）=4^x+m•2^x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

Answer 1

分析：先将函数转化为方程，再令2^x=t（t＞0）转化为一元二次方程，再利用根的分布求解．

解答：解：∵f（x）=4^x+m•2^x+1有且仅有一个零点，
即方程（2^x）²+m•2^x+1=0仅有一个实根．
设2^x=t（t＞0），则t²+mt+1=0．
当△=0，即m²-4=0，
∴m=-2时，t=1；m=2时，t=-1不合题意，舍去，
∴2^x=1，x=0符合题意．
当△＞0，即m＞2或m＜-2时，
t²+mt+1=0有一正一负根，
即t₁t₂＜0，这与t₁t₂＞0矛盾．
∴这种情况不可能．
综上可知：m=-2时，f（x）有唯一零点，该零点为x=0．

点评：本题主要考查函数的零点的求法，在求解过程中要注意函数方程不等式的转化．