Question

已知函数f（x）=-

4+ 1 x2

，数列{a_n}，点P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=f（x）上（n∈N⁺），且a₁=1，a_n＞0．
（ I）求数列{a_n}的通项公式；
（ II）数列{b_n}的前n项和为T_n且满足b_n=a_n²a_n+1²，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，

1

an+1

=

4+ 1 a 2 n

 即

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=4从而可得数列{

1

a 2 n

}是等差数列，首项

1

a 2 1

=1，公差d=4的等差数列，从而可求

1

a 2 n

=1+4(n-1)  结合a_n＞0可求a_n
（2）由已知可得，b_n=

1

4n-3

•

1

4n+1

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

），从而利用裂项可求和

解答：解：（1）-

1

an+1

=f(an)=-

4+ 1 a 2 n

且a_n＞0
∴

1

an+1

=

4+ 1 a 2 n

∴

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=4
∴数列{

1

a 2 n

}是等差数列，首项

1

a 2 1

=1，公差d=4
∴

1

a 2 n

=1+4(n-1)∴

a

2 n

=

1

4n-3

∵a_n＞0∴a_n=

1 4n-3

（2）b_n=

1

4n-3

•

1

4n+1

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

）
Tn=

1

4

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

)=

1

4

(1-

1

4n+1

)=

n

4n+1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解（1）题的关键是构造等差的形式，裂项求和是数列求和中的重要方法，要注意掌握．