Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）.

（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；

（2）若方程有两个实数根，求证：.

Answer 1

【答案】（1）零点为；；；（2）见解析.

【解析】

（1）由题意可得函数的零点为，，求导后，求出，，再求出，利用点斜式即可求得切线方程；

（2）利用导数证明、，设，由函数单调性可知、，利用即可得证.

（1）由，得或，所以函数的零点为，，

因为，所以，.

又因为，

所以曲线在处的切线方程为，

在处的切线方程为；

（2）证明：因为函数的定义为，，

令，则，所以即单调递减，

由，，

所以存在，使得在上单调递增，在上单调递减；

不妨设，且，，

令，，

记，则，

令，则，

所以单调递增，且，

故在单调递减，在单调递增，

所以，即；

记，则，

所以单调递增，且，故在单减，在单增.

则，即；

不妨设，

因为，且为增函数，所以.

由，得；

同理，；

所以.

所以，

所以.