Question

（2014•长宁区一模）如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都相等，M、E分别是AB和AB₁的中点，点F在BC上且满足BF：FC=1：3．
（1）求证：BB₁∥平面EFM；
（2）求四面体M-BEF的体积．

Answer 1

分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明：BB₁∥平面EFM；
（2）根据锥体的体积公式即可求四面体M-BEF的体积．

解答：解：（1）证明：连结EM、MF，
∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB₁的中点，
∴BB₁∥ME，
又BB₁?平面EFM，ME?平面EFM，
∴BB₁∥平面EFM．
（2）正三棱柱中B₁B⊥底面ABC，
由（1）BB₁∥ME，
∴ME⊥平面MBF，
根据条件得出BF=1，BM=2，∠MBF=60°，
∴S△BMF=

3

2

，
又EM=2，
因此VM-BEF=VE-MBF=

1

3

S△BMF•EM=

3

3

．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的位置关系的判定，以及空间四面体的体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理和体积公式．