Question

14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦点F₁、F₂与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过椭圆C上一点（x₀，y₀），与椭圆C相切的直线方程为$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1．过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F₁P的垂线F₁M相交于点M，求点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若切线MP与直线x=-2交于点N，求证：$\frac{{|N{F_1}|}}{{|M{F_1}|}}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出c=2，a=4，可得b的值，则求出椭圆方程．
（Ⅱ）设出切线方程，表示出MF1的方程，继而根据条件求出轨迹方程．
（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为M（-8，y_M）、N（-2，y_N），点N在切线MP上，由①式得y_N=$\frac{3（{x}_{0}+8）}{2{y}_{0}}$，点M在直线MF₁上，由②式得y_M=$\frac{6（{y}_{0}+2）}{{y}_{0}}$，由上述2式求解．

解答 解：（Ⅰ）F₁、F₂与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形，
可得2c=a=4，∴c=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；    
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），由（Ⅰ），F₁（-2，0），
设P（x₀，y₀），M（x，y），
过椭圆C上过P的切线方程为：$\frac{{x}_{0}x}{16}$+$\frac{{y}_{0}y}{12}$=1，①
直线F₁P的斜率${k}_{{F}_{1}P}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，则直线MF₁的斜率${k}_{M{F}_{1}}$=-$\frac{{x}_{0}+2}{{y}_{0}}$，
于是直线MF₁的方程为：y=-$\frac{{x}_{0}+2}{{y}_{0}}$（x+2），
即yy₀=-（x₀+2）（x+2），②
①、②联立，解得x=-8，
∴点M的轨迹方程为 x=-8；    
（Ⅲ）证明：依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为M（-8，y_M）、N（-2，y_N），
点N在切线MP上，由①式得y_N=$\frac{3（{x}_{0}+8）}{2{y}_{0}}$，
点M在直线MF₁上，由②式得y_M=$\frac{6（{y}_{0}+2）}{{y}_{0}}$，|NF₁|²=y_N²=$\frac{9（{x}_{0}+8）^{2}}{4{y}^{2}}$，
|MF₁|²=[（-2）-（-8）]²+y_M²=$\frac{36[{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}+2）^{2}]}{{{y}_{0}}^{2}}$，
∴（$\frac{{|N{F_1}|}}{{|M{F_1}|}}$）²=$\frac{9（{x}_{0}+8）^{2}}{4{y}^{2}}$•$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{36[{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}+2）^{2}]}$=$\frac{1}{16}$•$\frac{（{x}_{0}+8）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}+2）^{2}}$，③
注意到点P在椭圆C上，即$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}$=1，
于是y₀²=12-$\frac{3}{4}$x₀²代人③式并整理得，（$\frac{{|N{F_1}|}}{{|M{F_1}|}}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{|N{F_1}|}}{{|M{F_1}|}}$为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查椭圆方程和轨迹方程的求解方法和直线与椭圆的综合问题，考查运算能力，属于难度较大的题目．