Question

如图所示，平面，四边形为正方形，且，分别是线段的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥与四棱锥的体积比.

Answer 1

（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）三棱锥与四棱锥的体积比

试题分析：（Ⅰ）通过证明,,从而有,然后由直线和平面平行的判定定理可得平面；（Ⅱ）利用直线和平面垂直的性质定理可得AE⊥DH，再证DH⊥AG，由直线和平面垂直的判定定理可得平面；（Ⅲ）由已知可得，，所以，此问注意直线和平面关系的运用和体积的转化.
试题解析：（Ⅰ）分别为中点，所以AD∥EF，∵BC∥AD, ,∴BC∥EF．．．．2分

∥平面EFG．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH ，即 AE⊥DH．．．．．．．．．．
∵△ADG≌△DCH ，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°
∴∠AGD+∠HDC=90°
∴DH⊥AG
又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG．．．．．．．．．．．．8分
（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，得，又，所以平面，
所以，
又
所以   ．．．．．．．．．12分