Question

6．命题P：不等式lg[x（1-x）+1]＞0的解集为{x|0＜x＜1}，
命题q：在△ABC中，A＞B是${cos^2}（{\frac{A}{2}+\frac{π}{4}}）＜{cos^2}（{\frac{B}{2}+\frac{π}{4}}）$成立的必要不充分条件，
则 下列说法正确的是（　　）

• A． P真q假
• B． p∧q为真
• C． p∨q为假
• D． P假q真

Answer 1

分析 此题和对数不等式与三角不等式相联系考查的是判断命题的真假问题．在解答时，对于命题P应充分考虑对数不等式的特点，先讲0变成以10为底的对数，再利用对数函数的单调性找到变量的范围，同时注意对数自身对变量的要求．对于命题Q应先对三角形式进行降幂，然后利用三角函数的单调性找到变量∠A、∠B的关系．

解答 解：由命题P：不等式lg[x（1-x）+1]＞0，
可知lg[x（1-x）+1]＞lg1．
∴x（1-x）+1＞1，
∴0＜x＜1，
即不等式的解为{x|0＜x＜1}；
所以命题P为真命题．
由命题Q知，
若cos²（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{4}$）＜cos²（$\frac{B}{2}$+$\frac{π}{4}$），
即sinA＞sinB，
∴A＞B；
反之，在三角形中若A＞B，
则必有sinA＞sinB，
即cos²（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{4}$）＜cos²（$\frac{B}{2}$+$\frac{π}{4}$）成立，
所以命题Q为假命题．
故选：A．

点评 此题考查的是命题真假、对数不等式和三角不等式的综合问题．在解答过程中要充分体会对数自身对变量的要求，三角恒等变换知识的应用以及命题真假判断的规律．此题属于较综合类题目，值得同学们总结归纳．