题目内容

给出下列函数：
①f（x）=sin（-2x）；
②f（x）=sinx+cosx；
③f（x）=sinxcosx；
④f（x）=sin2x；
⑤f（x）=|cos2x|
其中，以π为最小正周期且为偶函数的是    ．
【答案】分析：利用三角函数的诱导公式与倍角公式、利用奇偶函数的概念对①②③④⑤逐个判断即可．
解答：解：①f（x）=sin（-2x）=cos2x，其周期T==π，满足f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x）是偶函数，故①符合；
②f（x）=sinx+cosx=sin（x+），其周期T=2π≠π，故②不满足题意；
③f（x）=sinxcosx=sin2x，f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=-sin2x=-f（x），是奇函数，故③不满足题意；
④f（x）=sin2x=，是以π为最小正周期的偶函数，故④符合题意；
⑤f（x）=|cos2x|是偶函数，但其周期为，故⑤不满足题意；
综上所述，以π为最小正周期且为偶函数的是①④．
故答案为：①④．
点评：本题考查三角函数的诱导公式与倍角公式，考查函数奇偶性的判断与周期的求法，属于中档题．
练习册系列答案
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若函数f（x）的定义域为R，且存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=x2，②f（x）=sinx+cosx，③f(x)=
x
x2+x+1
，④f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2012|x1-x2|，⑤f(x)=x
1
2
，其中是F函数的有
③④
③④
．
设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2x；   
②f（x）=sinx+cosx；
③f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|；
④f(x)=
0当x∈[-1，1] 时
ln|x|当x∈(-∞ -1)∪(1，+∞) 时
．
其中是“倍约束函数”的有（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．现给出下列函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=x2+1；
③f(x)=
2
(sinx+cosx)；
④f(x)=
x
x2-x+1
；
⑤f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．
其中是F函数的函数有
①④⑤
①④⑤
．
如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：
①f（x）=sinxcosx； 
②f（x）=
2
sin2x+1；
③f（x）=2sin（x+
π
4
）；       
④f（x）=sinx+
3
cosx．
其中“同簇函数”的是（　　）
A、①②B、①④C、②③D、③④
设函数f（x）的定义域为R，若存在常数k＞0，使|f(x)|≤
k|x|
2013
对于一切x∈R均成立，则称f（x）为“好运”函数．给出下列函数：
①f（x）=x2； 
②f（x）=sinx+cosx；
③f(x)=
x
x2+x+1
；     
④f（x）=3x+1．
其中f（x）是“好运”函数的序号是（　　）

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