Question

f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．现给出下列函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=x²+1；
③f(x)=

2

(sinx+cosx)；
④f(x)=

x

x2-x+1

；
⑤f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是F函数的函数有

①④⑤

．

Answer 1

分析：用F函数的定义加以验证，对于①④⑤均可以找到常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，说明它们是F函数．而对于②③，当x→0时，|

f(x)

x

|→∞，所以不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，故它们不符合题意．

解答：解：对于①，f（x）=2x，易知存在M=2＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意；
对于④，因为|f（x）|=

|x|

x2-x+1

=

|x|

(x- 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

|x|，所以存在常数M=

4

3

＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，④是F函数；
对于⑤，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，
|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意．
而对②、③用F函数的定义不难发现：因为x→0时，|

f(x)

x

|→∞，所以不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，它们是不符合题意的
故答案为：①④⑤

点评：本题考查了函数的定义域和值域的问题，属于中档题．题中“F函数”的实质是函数f（x）与x的比值对应的函数是有界的，抓住这一点我们不难解出．