Question

已知椭圆

x2

m2+m

+

y2

m

=1的右焦点为F，右准线为l，且直线y=x与l相交于A点．
（Ⅰ）若⊙C经过O、F、A三点，求⊙C的方程；
（Ⅱ）当m变化时，求证：⊙C经过除原点O外的另一个定点B；
（Ⅲ）若

AF

•

AB

＜5时，求椭圆离心率e的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意求出右焦点的坐标和有准线的方程，再求出A点的坐标，用待定系数法求圆C的方程，设为一般方程更好计算．
（Ⅱ）根据点在圆上，点的坐标满足圆的方程，设点B的坐标代入圆C的方程，把含有m的整理在一起后，列出方程求解．
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）求的结果和数量积的坐标表示，用m表示所给的不等式，求出范围；再有椭圆的方程本身的几何意义，求m出的范围，两个范围再求交集，最后用m表示离心率求出范围．

解答：解：（Ⅰ）∵a²=m²+m，b²=m，
∴c²=m²，即c=m，∴F（m，0），准线x=1+m，
∵直线y=x与右准线为l相交于A点
∴A（1+m，1+m）
设⊙C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
将O、F、A三点坐标代入得：

F=0 m2+Dm=0 2+2m+D+E=0

，
解得

F=0 D=-m E=-2-m

∴⊙C的方程为x²+y²-mx-（2+m）y=0；
（Ⅱ）设点B坐标为（p，q），
则p²+q²-mp-（2+m）q=0，
整理得：p²+q²-2q-m（p+q）=0对任意实数m都成立．
∴

p+q=0 p2+q2-2q=0

，解得

p=0 q=0

或

p=-1 q=1

，
故当m变化时，⊙C经过除原点O外的另外一个定点B（-1，1）；
（Ⅲ）由B（-1，1）、F（m，0）、A（1+m，1+m）得

AF

=（-1，-1-m），

AB

=（-2-m，-m）
∴

AF

•

AB

=m²+2m+2＜5，解得-3＜m＜1
又∵

m2+m＞0 m＞0

，∴0＜m＜1
∴椭圆的离心率e=

m

m2+m

=

m2 m2+m

=

1 1+ 1 m

（0＜m＜1）
∴椭圆的离心率的范围是0＜e＜

2

2

．

点评：本题用待定系数法求圆的方程和证明圆C过定点，求圆的方程时设一般方程计算简单；再求离心率的范围时，容易出差椭圆方程本身隐含的条件，即a²＞0，b²＞0．