Question

某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设两项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为

5

12

，至少一项技术指标达标的概率为

11

12

．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
（2）任意依次抽出4个零件进行检测，设ξ表示其中合格品的个数．
①求其中至多2个零件是合格品的概率是多少？
②求ξ的均值Eξ和方差Dξ．

Answer 1

分析：（1）法一：至少一项技术指标达标事件是仅有一项技术指标达标和两项技术指标达标事件的和事件，两个事件的概率相加得到结果．
法二：设A、B两项技术指标达标的概率分别为P₁、P₂，根据两项技术指标达标与否互不影响．有且仅有一项技术指标达标的概率为

5

12

，至少一项技术指标达标的概率为

11

12

，列出方程组，解方程组即可．
（2）①任意抽出4个零件进行检查，其中至多2个零件是合格品包括三种情况，即合格的零件数是0，1，2，这三种情况是互斥的，根据独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．
②依题意知合格品的个数符合二项分布，即ξ～B（4，

1

2

），根据期望和方差的公式写出结果．

解答：解：（1）法一：至少一项技术指标达标事件（P=

11

12

）是仅有一项技术指标达标（P=

5

12

）
和两项技术指标达标事件的和事件．
所以所求的概率为p=

1

2

．                          
法二：设A、B两项技术指标达标的概率分别为P₁、P₂．
由题意得：

P1•(1-P2)+(1-P1)•P2= 5 12 1-(1-P1)•(1-P2)•= 11 12

，
解得：P1=

3

4

，P2=

2

3

或P1=

2

3

，P2=

3

4

，
∴P=P1P2=

1

2

．
即一个零件经过检测为合格品的概率为

1

2

．
（2）①任意抽出4个零件进行检查，其中至多2个零件是合格品的概率为
P(?≤2)=

C

0 4

(

1

2

)4+

C

1 4

(

1

2

)4+

C

2 4

(

1

2

)4=

11

16

，
②依题意知ξ～B（4，

1

2

），Eξ=4×

1

2

=2，Dξ=4×

1

2

×

1

2

=1．

点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率和离散型随机变量的期望和方差，本题解题的关键是看出事件符合什么分布，判断出符合什么分布，计算起来要简单的多．