Question

某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A，B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为

5

12

，至少一项技术指标达标的概率为

11

12

．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
（2）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？
（3）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ．

Answer 1

分析：（1）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P₁、P₂，根据有且仅有一项技术指标达标的概率为

5

12

，至少一项技术指标达标的概率为

11

12

，建立方程组，即可求得一个零件经过检测为合格品的概率；
（2）利用对立事件概率计算方法，即可求得任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率；
（3）依题意知ξ～B（4，

1

2

），利用公式可得结论．

解答：解：（1）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P₁、P₂
由题意得：

P1•(1-P2)+(1-P1)•P2= 5 12 1-(1-P1)•(1-P2)= 11 12

，解得：P1=

3

4

，P2=

2

3

或P1=

2

3

，P2=

3

4

，
∴P=P1P2=

1

2

．
即一个零件经过检测为合格品的概率为

1

2

；
（2）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为1-

C

4 5

(

1

2

)5-

C

5 5

(

1

2

)5=

13

16

（3）依题意知ξ～B（4，

1

2

），
∴Eξ=4×

1

2

=2，Dξ=4×

1

2

×

1

2

=1

点评：本题考查概率的计算，考查二项分布的期望与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．