Question

（09年湖北五市联考理）（12分）

如图甲，直角梯形中，，，点、分别在，上，且，，，，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？

Answer 1

解析：解法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

MB//平面DNC.

同理MA//平面DNC，又MAMB=M, 且MA,MB平面MAB.

.  (6分)

（Ⅱ）过N作NH交BC延长线于H，连HN，

平面AMND平面MNCB，DNMN,

DN平面MBCN，从而,

为二面角D-BC-N的平面角.                                      (9分)

由MB=4，BC=2，知60º，

.   sin60º =                        (10分)

由条件知：                  （12分）

解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系

易得NC=3，MN=，

设，则.

（I）.

，

∵，

∴与平面共面，又，.                  (6分)

（II）设平面DBC的法向量，

则，令，则， 

∴.                                                       （8分）

又平面NBC的法向量.                                            （9分）

即：    又

即                                                               （12分）