Question

【题目】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）

【解析】

（1）由题意，得，然后求解离心率即可；

（2）由（1）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程可解得c=1，求出椭圆方程，直线OM的方程为，当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与椭圆联立消y，设A，B坐标，利用韦达定理求出AB的中点，代入可得k值，再利用判别式推出，且m≠0，利用弦长公式以及三角形的面积，利用均值不等式可得最值．

（1）由题意，得，

则，结合b2=a2-c2，得，

即2c2-3ac+a2=0，

亦即2e2-3e+1=0，结合0＜e＜1，解得，

所以椭圆C的离心率为．

（2）由（1）得a=2c，则b2=3c2，

将代入椭圆方程，解得c=1，

所以椭圆方程为，

易得直线OM的方程为，

当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立，

消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

所以=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）

=48（3+4k2-m2）＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，

由，

得AB的中点，

因为N在直线上，

所以，解得k=-．

所以=48（12-m2）＞0，得-，且m≠0，

|AB|=|x2-x1|

=

=

=．

又原点O到直线l的距离d=，

所以

，

当且仅当12-m2=m2，m=时等号成立，符合-，且m≠0，

所以△OAB面积的最大值为：．